# 03-01: Arithmetic and Multiplicative Functions

https://www.youtube.com/watch?v=4zgJZFcSkn0
Translation: vi

[00:01] on we go and now we start the third unit
  chúng ta tiếp tục và bây giờ chúng ta bắt đầu đơn vị thứ ba

[00:04] in the course
  trong khóa học

[00:05] beginning with multiplicative functions
  bắt đầu với các hàm nhân

[00:08] but before we talk about multiplicative
  nhưng trước khi chúng ta nói về nhân

[00:10] functions we're going to define
  các hàm chúng ta sẽ định nghĩa

[00:12] something called an arithmetic function
  thứ gọi là hàm số học

[00:14] so a function is called arithmetic if
  vì vậy một hàm được gọi là số học nếu

[00:16] its domain is the positive integers 1 2
  miền xác định của nó là các số nguyên dương 1 2

[00:19] 3 4 and so forth and the codomain is any
  3 4 và cứ thế và miền giá trị là bất kỳ

[00:21] ring
  vòng

[00:22] now if the word ring is unfamiliar to
  bây giờ nếu từ vòng không quen thuộc với

[00:23] you don't worry about it
  bạn đừng lo lắng về nó

[00:25] for us the codomain is always going to
  đối với chúng ta miền giá trị sẽ luôn là

[00:27] be real numbers or integers so pretty
  số thực hoặc số nguyên vì vậy khá

[00:29] straightforward and those are examples
  thẳng thắn và đó là những ví dụ

[00:31] of rings okay the only real notable
  về các vòng được rồi điểm đáng chú ý thực sự duy nhất

[00:33] condition here
  điều kiện ở đây

[00:35] is that the domain is the positive
  là miền xác định là số dương

[00:36] integers
  nguyên

[00:39] okay so an arithmetic function is called
  được rồi vì vậy một hàm số học được gọi là

[00:41] completely multiplicative if for any two
  hoàn toàn nhân nếu với bất kỳ hai

[00:44] elements of the domain for any two
  phần tử của miền xác định với bất kỳ hai

[00:46] positive integers we have f of n m
  số nguyên dương chúng ta có f của n m

[00:49] equals f of n f of n
  bằng f của n f của n

[00:51] this is really saying what we have is a
  điều này thực sự nói rằng những gì chúng ta có là một

[00:53] multiplicative homomorphism if that's a
  đồng cấu nhân nếu đó là

[00:55] term you know if it's not don't worry
  thuật ngữ bạn biết nếu không thì đừng lo

[00:57] okay you can think of it instead as
  được rồi bạn có thể nghĩ về nó thay vào đó là

[00:59] saying the function it distributes over
  nói rằng hàm số phân phối trên

[01:02] products f of the product nm
  tích f của tích nm

[01:05] is the same thing as is equal to the
  tương đương với bằng

[01:08] product f of n times f of m
  tích f của n nhân f của m

[01:11] so here's a quick example both of the
  vì vậy đây là một ví dụ nhanh cả hai

[01:13] following functions are completely
  các hàm sau đây hoàn toàn

[01:15] multiplicative n squared and root n
  nhân bình phương n và căn bậc hai n

[01:18] and the proof is pretty straightforward
  và bằng chứng khá đơn giản

[01:19] we need to prove something about any two
  chúng ta cần chứng minh điều gì đó về bất kỳ hai

[01:21] elements of the domain so pick any two
  phần tử của miền vì vậy hãy chọn bất kỳ hai

[01:24] elements n and m which are positive
  phần tử n và m là số nguyên dương

[01:25] integers then both of the following are
  thì cả hai điều sau đây đều đúng

[01:28] true
  đúng

[01:29] f of n m well the function f simply
  f của n m thì hàm f đơn giản

[01:32] squares the input so f of n m is nm
  bình phương đầu vào vì vậy f của n m là nm

[01:34] squared but nm squared is n squared m
  bình phương nhưng nm bình phương là n bình phương m

[01:37] squared
  bình phương

[01:38] while n squared was f of n and m squared
  trong khi n bình phương là f của n và m bình phương

[01:41] is f of m so overall f of n m equals the
  là f của m vì vậy tổng thể f của n m bằng

[01:44] product f of n f of n
  tích f của n f của n

[01:46] and similarly
  và tương tự

[01:47] g of n m is the square root of
  g của n m là căn bậc hai của

[01:50] n m the square root distributes and you
  n m căn bậc hai phân phối và bạn

[01:52] get g of n times g of m so both of these
  được g của n nhân g của m vì vậy cả hai

[01:56] satisfied the fact that we can
  thỏa mãn sự thật rằng chúng ta có thể

[01:58] distribute the function across a product
  phân phối hàm trên một tích

[02:01] with no issues
  mà không có vấn đề gì

[02:02] and in fact for any real number the function f of n equals n to the alpha is completely multiplicative and the proof is exactly what's above powers distribute across products like that
  và trên thực tế đối với bất kỳ số thực nào, hàm f của n bằng n mũ alpha là hoàn toàn nhân tính và bằng chứng chính xác là những gì ở trên, lũy thừa phân phối trên các tích như vậy

[02:16] so more talk about multiplicative functions
  vì vậy, nói thêm về các hàm nhân tính

[02:19] so completely multiplicative functions are actually not the most interesting for our purposes
  vì vậy, các hàm hoàn toàn nhân tính thực sự không phải là điều thú vị nhất cho mục đích của chúng ta

[02:25] what we are more interested in is something called a multiplicative function
  điều chúng ta quan tâm hơn là một cái gọi là hàm nhân tính

[02:30] okay given any two elements of the domain m and n if those two numbers are relatively prime then you can distribute the function
  được rồi, cho bất kỳ hai phần tử nào của miền m và n, nếu hai số đó nguyên tố cùng nhau thì bạn có thể phân phối hàm

[02:38] if the two numbers are not relatively prime maybe you can maybe you can't you just don't know
  nếu hai số đó không nguyên tố cùng nhau, có thể bạn có thể, có thể bạn không thể, bạn chỉ không biết

[02:45] however the definition multiplicative as opposed to completely multiplicative throws in this extra hypothesis if the two input numbers are relatively prime then you can do this distribution
  tuy nhiên, định nghĩa nhân tính, trái ngược với hoàn toàn nhân tính, đưa ra giả thuyết bổ sung này: nếu hai số đầu vào nguyên tố cùng nhau thì bạn có thể thực hiện phép phân phối này

[02:59] so i just want to stress for a multiplicative function this
  vì vậy, tôi chỉ muốn nhấn mạnh rằng đối với một hàm nhân tính, điều này

[03:03] distribution only has to occur when the two input numbers are relatively prime.
  sự phân phối chỉ cần xảy ra khi hai số đầu vào tương đối nguyên tố với nhau.

[03:10] if those two input numbers were not relatively prime maybe it would distribute and maybe it wouldn't but it wouldn't be relevant for the definition of multiplicative.
  nếu hai số đầu vào đó không tương đối nguyên tố với nhau thì có thể nó sẽ phân phối và có thể nó sẽ không, nhưng điều đó sẽ không liên quan đến định nghĩa của hàm nhân.

[03:21] now some sources are also going to require in order to call a function multiplicative that the function is not constantly zero.
  bây giờ một số nguồn cũng sẽ yêu cầu để gọi một hàm là hàm nhân thì hàm đó không được là hằng số không.

[03:30] this is a very minor distinction and we haven't included it in our definition.
  đây là một sự khác biệt rất nhỏ và chúng tôi đã không đưa nó vào định nghĩa của mình.

[03:34] the only distinction is that it will slightly change how certain theorems are phrased.
  sự khác biệt duy nhất là nó sẽ thay đổi một chút cách diễn đạt của một số định lý nhất định.

[03:39] so let's take a look at an example.
  vì vậy, hãy xem xét một ví dụ.

[03:42] so here's a function f of n equals one.
  vì vậy, đây là một hàm f(n) bằng một.

[03:44] this is a completely multiplicative function.
  đây là một hàm hoàn toàn nhân tính.

[03:47] there's not a whole lot to prove here.
  không có nhiều điều để chứng minh ở đây.

[03:50] so for any two positive integers f of m n is one because f of anything is one.
  vì vậy, đối với bất kỳ hai số nguyên dương nào, f(m*n) bằng một vì f của bất kỳ số nào cũng bằng một.

[03:55] one is certainly equal to one times one and f of m was one and f of n is one.
  một chắc chắn bằng một nhân một và f(m) bằng một và f(n) bằng một.

[04:00] hooray f of n equals one is completely multiplicative.
  hoan hô, f(n) bằng một là hoàn toàn nhân tính.

[04:04] so let's take a look at another slightly more interesting example
  vì vậy chúng ta hãy xem xét một ví dụ thú vị hơn một chút

[04:08] so let's consider the function f
  vì vậy chúng ta hãy xem xét hàm f

[04:10] so that f of one is one
  sao cho f của một là một

[04:13] if you plug in n equals one you get out one f of one is one but for any other positive integer f of n is zero
  nếu bạn thay n bằng một bạn nhận được một f của một là một nhưng đối với bất kỳ số nguyên dương nào khác f của n là không

[04:22] well this function is also completely multiplicative
  chà hàm này cũng hoàn toàn nhân tính

[04:25] so consider any two positive integers m and n
  vì vậy hãy xem xét bất kỳ hai số nguyên dương m và n nào

[04:28] it's possible that they were both equal to one
  có thể cả hai đều bằng một

[04:31] if m and n are both one then f of m n is f one because m and n are both one
  nếu m và n đều bằng một thì f của m n là f một vì m và n đều bằng một

[04:40] so if m is one and n is one m times n is one f of one was one one is equal to one times one and since we assumed m and n were both one f of m is one and f of n is one and everything checks out
  vì vậy nếu m là một và n là một m nhân n là một f của một là một một bằng một nhân một và vì chúng ta giả sử m và n đều là một f của m là một và f của n là một và mọi thứ đều khớp

[04:54] but suppose one of the two numbers isn't one possibly both at least one of the two numbers is not equal to one
  nhưng giả sử một trong hai số không phải là một có thể cả hai ít nhất một trong hai số không bằng một

[05:00] well since the domain is only positive integers then if a single one of those
  chà vì miền xác định chỉ là các số nguyên dương thì nếu một trong số đó

[05:05] numbers is not equal to one the product is definitely not equal to one
  số không bằng một tích chắc chắn không bằng một

[05:09] in which case the product m n isn't one
  trong trường hợp đó tích m n không phải là một

[05:13] so f of that number is zero
  vì vậy f của số đó bằng không

[05:15] but at least one of the two numbers was not equal to one meaning either f of n or f of m is also equal to zero
  nhưng ít nhất một trong hai số không bằng một nghĩa là f của n hoặc f của m cũng bằng không

[05:24] i don't necessarily know which one or possibly both but definitely the product f of m times f of n is definitely equal to zero
  tôi không nhất thiết biết cái nào hoặc có thể cả hai nhưng chắc chắn tích f của m nhân f của n chắc chắn bằng không

[05:31] because one of those two values is so in either case f of m n worked out to be equal to f of m times f of n
  bởi vì một trong hai giá trị đó là vậy trong cả hai trường hợp f của m n bằng f của m nhân f của n

[05:43] let's take a look at another example
  hãy xem một ví dụ khác

[05:46] the function f of n is constantly 2 is not completely multiplicative
  hàm f của n luôn là 2 không hoàn toàn là nhân

[05:49] so can we find a pair of numbers that violates the desired claim f of n m equals f n f m
  vậy chúng ta có thể tìm một cặp số vi phạm yêu cầu mong muốn f của n m bằng f n f m không

[05:56] well let's let m and n both equal 2 for the sake of argument
  chà hãy để m và n đều bằng 2 để tranh luận

[06:03] well n times m is therefore four so f of
  chà n nhân m do đó bằng bốn vậy f của

[06:07] n m is f four but the function f maps every positive integer to two so f of four is two
  n m là f bốn nhưng hàm f ánh xạ mọi số nguyên dương tới hai nên f của bốn là hai

[06:15] on the other hand f of n is two and f of m is two so f of n times f of m would be 2 times 2 which is 4.
  mặt khác f của n là hai và f của m là hai nên f của n nhân f của m sẽ là 2 nhân 2 bằng 4.

[06:24] and overall f of n m was 2
  và nhìn chung f của n m là 2

[06:26] f of n f of m was 4 and those are definitely not the same output
  f của n f của m là 4 và chúng chắc chắn không cho cùng một kết quả

[06:35] but not only is this function not completely multiplicative it's not multiplicative
  nhưng không chỉ hàm này không hoàn toàn nhân tính mà nó còn không nhân tính

[06:41] the example we did above doesn't quite demonstrate that this function isn't multiplicative
  ví dụ chúng ta đã làm ở trên không hoàn toàn chứng minh rằng hàm này không nhân tính

[06:45] remember that for a function to be multiplicative as opposed to completely multiplicative there's this extra hypothesis that the two input numbers must be relatively prime
  hãy nhớ rằng để một hàm là nhân tính trái ngược với hoàn toàn nhân tính thì có giả thuyết bổ sung là hai số đầu vào phải nguyên tố cùng nhau

[06:57] we input m and n both equal to two
  chúng ta nhập m và n đều bằng hai

[07:01] and two and two are not relatively prime to each other
  và hai và hai không nguyên tố cùng nhau

[07:05] however two and three are definitely
  tuy nhiên hai và ba chắc chắn là

[07:07] relatively prime to each other so let's let n equal two and m equal three.
  tương đối nguyên tố với nhau vì vậy hãy để n bằng hai và m bằng ba.

[07:12] then f of n m would be f of six but f of anything is two on the other hand f of n times f of m would be f of two f of three f maps everything to two so that's two times two and two times two is four which is not the same thing.
  thì f của n m sẽ là f của sáu nhưng f của bất cứ thứ gì cũng là hai mặt khác f của n nhân f của m sẽ là f của hai f của ba f ánh xạ mọi thứ thành hai vậy đó là hai nhân hai và hai nhân hai là bốn không giống nhau.

[07:27] so here is a pretty straightforward theorem we can establish about multiplicative functions.
  vì vậy đây là một định lý khá thẳng thắn mà chúng ta có thể thiết lập về các hàm nhân.

[07:33] so the earlier example we just gave about the constant two function not being multiplicative will follow directly from this.
  vì vậy ví dụ trước đó chúng ta vừa đưa ra về hàm hằng hai không phải là hàm nhân sẽ theo trực tiếp từ điều này.

[07:40] if f is multiplicative and it's not constantly zero then f of one has to equal one.
  nếu f là hàm nhân và nó không phải là hằng số không thì f của một phải bằng một.

[07:49] so since f isn't constantly zero there is some input so that f of n is equal to zero.
  vì vậy vì f không phải là hằng số không nên có một số đầu vào sao cho f của n bằng không.

[07:57] but then there are two things we can establish.
  nhưng sau đó có hai điều chúng ta có thể thiết lập.

[08:00] the greatest common divisor of one and n is definitely equal to one regardless of what n is so since one and
  ước chung lớn nhất của một và n chắc chắn bằng một bất kể n là gì vì vậy vì một và

[08:08] n are relatively prime and we assumed the function was multiplicative.
  n là nguyên tố cùng nhau và chúng ta giả định hàm là nhân tính.

[08:12] f of one times n must distribute as f of one times f of n.
  f của một lần n phải phân phối như f của một lần f của n.

[08:19] one times n is definitely equal to n so f of one times n on the left there is equal to f of n.
  một lần n chắc chắn bằng n nên f của một lần n ở bên trái bằng f của n.

[08:25] together we get f of one times f of n is equal to this which was equal to f of n.
  cùng nhau ta có f của một lần f của n bằng cái này mà bằng f của n.

[08:30] so f of one f of n is equal to f of n.
  nên f của một f của n bằng f của n.

[08:33] now since f of n wasn't equal to zero the function wasn't constantly zero so there was some value that wasn't equal to zero then i can cancel it from both sides and conclude that f of one equals one.
  bây giờ vì f của n không bằng không hàm không liên tục bằng không nên có một giá trị nào đó không bằng không thì tôi có thể hủy nó khỏi cả hai vế và kết luận rằng f của một bằng một.

[08:46] notice if f of n equals zero f of one times zero equals zero would be true regardless of the value of f one so we really needed that information that f n was not zero for some particular value of n.
  lưu ý nếu f của n bằng không f của một lần không bằng không sẽ đúng bất kể giá trị của f một nên chúng ta thực sự cần thông tin đó rằng f n không bằng không đối với một giá trị cụ thể nào đó của n.

[09:01] but we conclude that for any multiplicative function that isn't always zero f of one must be one.
  nhưng chúng ta kết luận rằng đối với bất kỳ hàm nhân nào không phải lúc nào cũng bằng không thì f của một phải bằng một.

[09:04] so in the previous
  nên trong trước đó

[09:09] example since the function was always two f of one equals two immediately tells me the function is not multiplicative because f of one was not equal to one and that's really how we are going to be using this result if you ever have f of one is not equal to one then the function cannot be multiplicative
  ví dụ vì hàm luôn là hai f của một bằng hai ngay lập tức cho tôi biết hàm không phải là hàm nhân vì f của một không bằng một và đó là cách chúng ta sẽ sử dụng kết quả này nếu bạn có f của một không bằng một thì hàm không thể là hàm nhân

[09:32] well if we have some examples of multiplicative functions how can we create new ones
  à nếu chúng ta có một số ví dụ về các hàm nhân thì làm thế nào chúng ta có thể tạo ra các hàm mới

[09:37] suppose we have two multiplicative functions f into g
  giả sử chúng ta có hai hàm nhân f và g

[09:41] then f times g is a multiplicative function
  thì f nhân g là một hàm nhân

[09:46] f divided by g is also a multiplicative function provided that that denominator is never zero otherwise it wouldn't exist
  f chia cho g cũng là một hàm nhân với điều kiện mẫu số đó không bao giờ bằng không nếu không thì nó sẽ không tồn tại

[09:54] if f and g are completely multiplicative then so is the composition f of g
  nếu f và g hoàn toàn là hàm nhân thì hợp của f và g cũng vậy

[10:00] if f is completely multiplicative and then f of g is multiplicative notice in this phrasing here
  nếu f hoàn toàn là hàm nhân và sau đó f của g là hàm nhân hãy lưu ý trong cách diễn đạt này

[10:08] f is completely multiplicative g is
  f hoàn toàn là hàm nhân g là

[10:10] multiplicative and the composition is in this very specific order that the outer function was the completely multiplicative one and the resulting composition is not necessarily completely multiplicative but it is multiplicative if neither f nor g are constantly zero.
  nhân và phép hợp được thực hiện theo một thứ tự rất cụ thể, trong đó hàm bên ngoài là hàm nhân hoàn toàn và phép hợp kết quả không nhất thiết là nhân hoàn toàn nhưng nó là nhân nếu cả f và g không bằng không liên tục.

[10:25] then the sum of two multiplicative functions is definitely not multiplicative if i have a constant which is not zero and not one and the function f is not constantly zero then the product f of n times the constant is also definitely not multiplicative.
  thì tổng của hai hàm nhân chắc chắn không phải là hàm nhân nếu tôi có một hằng số khác không và khác một và hàm f không bằng không liên tục thì tích f của n nhân với hằng số cũng chắc chắn không phải là hàm nhân.

[10:48] so the proofs are pretty straightforward for the first one suppose we input two relatively prime positive integers m and n.
  vì vậy các chứng minh khá đơn giản đối với cái đầu tiên, giả sử chúng ta nhập hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau là m và n.

[10:57] well the product f times g just says do f of it times g of it f was a multiplicative function and m and n are relatively prime.
  chà, tích f nhân g chỉ đơn giản là lấy f của nó nhân với g của nó, f là một hàm nhân và m và n là nguyên tố cùng nhau.

[11:06] so f m n is f m f of n g of m n is g of
  vì vậy f m n là f m f của n g của m n là g của

[11:10] m g of n
  m g của n

[11:12] move some stuff around f of m g of m
  di chuyển một số thứ xung quanh f của m g của m

[11:15] that's the same thing as f times g of m
  đó là điều tương tự như f nhân g của m

[11:18] and f of n g of n is the same thing as f times g of n
  và f của n g của n cũng giống như f nhân g của n

[11:21] so overall f times g of m n
  vì vậy tổng thể f nhân g của m n

[11:25] was f times g of m times f times g of n
  là f nhân g của m nhân f nhân g của n

[11:28] so f times g is multiplicative
  vì vậy f nhân g là nhân

[11:31] the second claim is basically the same as this one for the product the proof is not substantially different
  khẳng định thứ hai về cơ bản giống như khẳng định này đối với tích, chứng minh không khác biệt đáng kể

[11:37] the third and fourth claims regarding if f and g are both completely multiplicative or if f is completely multiplicative and g is just multiplicative
  khẳng định thứ ba và thứ tư liên quan đến việc nếu f và g đều hoàn toàn nhân hoặc nếu f hoàn toàn nhân và g chỉ là nhân

[11:46] we're not actually going to present the proof they are fairly straightforward
  chúng tôi sẽ không trình bày chứng minh, chúng khá đơn giản

[11:49] but i do want to repeat that the claim in the fourth line is not that f composed with g is completely multiplicative just that it is multiplicative
  nhưng tôi muốn nhắc lại rằng khẳng định ở dòng thứ tư không phải là f hợp với g hoàn toàn nhân, chỉ là nó nhân

[12:00] the last two claims follow quite quickly from the fact that on the previous slide we established if f is multiplicative and not constantly zero then f one must be one
  hai khẳng định cuối cùng theo khá nhanh từ thực tế là ở slide trước chúng tôi đã thiết lập nếu f là nhân và không bao giờ bằng không thì f một phải bằng một

[12:11] so if both of these functions are multiplicative and not constantly zero f of one must be one and g of one must be one but then f plus g of one would be one plus one is two and if f plus g of one is not equal to one that function is not multiplicative
  vì vậy nếu cả hai hàm này là nhân và không bằng không liên tục thì f của một phải bằng một và g của một phải bằng một nhưng sau đó f cộng g của một sẽ bằng một cộng một là hai và nếu f cộng g của một không bằng một thì hàm đó không phải là nhân

[12:28] similarly if i take a function that's not constantly zero but was assumed to be multiplicative f of one has to equal one
  tương tự nếu tôi lấy một hàm không bằng không liên tục nhưng được giả định là nhân thì f của một phải bằng một

[12:35] since c is not zero and not one c times f of one is not equal to one and therefore this is not a multiplicative function
  vì c không bằng không và không bằng một nên c nhân f của một không bằng một và do đó đây không phải là một hàm nhân

[12:44] also since c isn't zero and f wasn't always zero this product is not always zero
  cũng vì c không bằng không và f không phải lúc nào cũng bằng không nên tích này không phải lúc nào cũng bằng không

[12:50] and combined we conclude that c times f is not multiplicative
  và kết hợp lại chúng ta kết luận rằng c nhân f không phải là nhân

[12:55] okay so that's it for a quick introduction to multiplicative functions
  được rồi đó là phần giới thiệu nhanh về các hàm nhân

[12:58] um in the next lecture we will observe more properties and see more examples
  ừm trong bài giảng tiếp theo chúng ta sẽ xem xét thêm các thuộc tính và xem thêm các ví dụ